Nombres de Fermat et infinité des nombres premiers - Corrigé

Énoncé

Pour tout \(n \in \mathbb{N}\) , on note \(F_n=2^{2^n}+1\) . La suite \((F_n)\) est appelée suite des nombres de Fermat.

1. Calculer \(F_0\) et \(F_1\) .

2. Démontrer que, pour tout \(n \in \mathbb{N}^\ast\) , \(F_n-2=F_0 \times F_1 \times F_2 \times ... \times F_{n-1}\) .

3. En écrivant la division euclidienne de \(F_n\) par \(F_m\) (avec \(n>m\) ), démontrer que deux nombres de Fermat distincts sont premiers entre eux.

4. Donner une nouvelle preuve de l'existence d'une infinité de nombres premiers.

Solution

1. On a :

• \(F_0=2^{2^0}+1=2^1+1=2+1=3\)  
• \(F_1=2^{2^1}+1=2^2+1=4+1=5\)  

2. Montrons par récurrence que, pour tout \(n \in \mathbb{N}^\ast\) , \(F_n-2=F_0 \times F_1 \times F_2 \times ... \times F_{n-1}\) .

• Initialisation
  Pour \(n=1\) , on a \(F_1-2=5-2=3\) et \(F_0=3\) , donc la propriété est initialisée au rang \(1\) .
  

• Hérédité
  Soit \(n \in \mathbb{N}^\ast\) tel que \(F_n-2=F_0 \times F_1 \times F_2 \times ... \times F_{n-1}\) .
  On a d'une part  \(\begin{align*}F_{n+1}-2& = 2^{2^{n+1}}+1-2= 2^{2^{n+1}}-1\end{align*}\)  et d'autre part, en utilisant l'hypothèse de récurrence,
  \(\begin{align*}F_0 \times F_1 \times F_2 \times ... \times F_{n-1} \times F_n& = (F_n-2) \times F_n\\ & = (F_n)^2-2F_n\\ & = \left(2^{2^n}+1\right)^2-2\left(2^{2^n}+1\right)\\ & = \left(2^{2^n}\right)^2+2 \times 2^{2^n}+1-2 \times 2^{2^n}-2\\ & = 2^{2^n \times 2}-1\\ & = 2^{2^{n+1}}-1\end{align*}\)  
  donc \(F_{n+1}-2=F_0 \times F_1 \times F_2 \times ... \times F_{n-1} \times F_n\) .
• Conclusion
  Pour tout \(n \in \mathbb{N}^\ast\) , \(F_n-2=F_0 \times F_1 \times F_2 \times ... \times F_{n-1}\) .
  

3. Soit \(m \in \mathbb{N}\) et \(n \in \mathbb{N}^\ast\) tels que \(m. 
D'après la question 2, on a 
\(\begin{align*}F_n& = F_0 \times F_1 \times F_2 \times ... \times F_{n-1}+2\\ & = F_m \times q+2\end{align*}\)  où \(q=\dfrac{F_0 \times F_1 \times F_2 \times ... \times F_{n-1}}{F_m} \in \mathbb{N}\) , car \(F_m\) est égal à l'un des facteurs du produit \(F_0 \times F_1 \times F_2 \times ... \times F_{n-1}\) (car \(m).
Comme \(F_m \geqslant F_0=3>2\) , l'écriture \(F_n=F_m \times q+2\) est la division euclidienne de \(F_n\) par \(F_m\) .
D'après le lemme d'Euclide, on en déduit que \(\mathrm{PGCD}(F_n;F_m)=\mathrm{PGCD}(F_m;2)\) .
Comme \(F_m=2^{2^m}+1\) est clairement impair, et les seuls diviseurs positifs de \(2\) sont \(1\) et \(2\) , il s'ensuit que \(\mathrm{PGCD}(F_m;2)=1\) .
Par conséquent, \(\mathrm{PGCD}(F_n;F_m)=1\) , autrement dit \(F_n\) et \(F_m\) sont premiers entre eux. Ainsi, deux nombres de Fermat distincts sont premiers entre eux.

4. La suite \((F_n)\) est constituée d'entiers tous distincts (car premiers entre eux deux-à-deux) supérieurs à \(2\) . Ainsi, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) , \(F_n\) possède un plus petit diviseur premier \(p_n\) .
Considérons deux nombres de Fermat distincts \(F_n\) et \(F_m\) et leurs plus petits diviseurs premiers \(p_n\) et \(p_m\) . On a alors \(p_n \neq p_m\) , sinon \(F_n\) et \(F_m\) ne seraient pas premiers entre eux (car divisibles tous les deux par \(p_n=p_m\) ).
Ainsi, il existe une suite \((p_n)\) de nombres premiers distincts constituée des plus petits diviseurs premiers de chacun des termes de la suite \((F_n)\) . Puisque la suite \((F_n)\) comporte une infinité de termes distincts, la suite \((p_n)\) aussi, et c'est une suite de nombres premiers distincts ! Il y a donc une infinité de nombres premiers.